一个字母的数学

分值是对稀缺度的测量

你在第一回合就会遇到的计分规则，并不是一种审美选择，而是一种测量。20 世纪 30 年代初，一位名叫 Alfred Mosher Butts 的失业建筑师着手设计一款既不纯靠运气、也不纯靠词汇量的文字游戏，他需要一种有原则的方法来为每个字母定价。于是他做了工程师会做的事：计数。Butts 统计了当时各种印刷品中每个字母出现的频率，其中最主要的是《纽约时报》（The New York Times）的头版，此外还有《先驱论坛报》（Herald Tribune）和《星期六晚邮报》（The Saturday Evening Post）。¹

从这些统计中，他同时读出了两个数字。数量——每种字母牌放进袋子里多少枚——反映该字母在真实文字中有多常见。分值则反其道而行：字母越稀有，用到它的出牌就应该得分越高。常见元音只值一分；只出现在外来词和词典偏僻角落里的字母，则拿到游戏的最高分。在英语版游戏中，这个最高分是十分，只有 Q 和 Z 享有；正如 BBC 曾经说过的，Butts “通过测量每个字母在《纽约时报》头版上出现的频率，为每张字母牌算出了分值”。²

频率，分三栏列出

把字母排成一列，设计便一目了然。随着字母在现实中的出现频率下降，分值几乎单调地上升。E 无处不在，价格低廉；Z 和 Q 几乎无处可寻，身价高昂。

数量与分值为标准英语牌组；³ 频率数据为普通英语文本的通行估计值。⁴ WordChess 沿袭这一传统，使用带分值的字母牌和按频率加权的字母牌组（英语版为 100 枚：98 枚字母牌和 2 枚空白牌），不过每位玩家都持有一整套牌组，而不是从袋子里抽牌，数据取自游戏的设计文档。

稀有到值得奖励，常见到能够出牌

一个简洁的想法在这里撞上了一条硬约束。如果分值只是奖励稀有，那么理想的袋子就会塞满 Q 和 Z，大把的分数等人来拿。但袋子同时也是你必须真正拿来出牌的一手牌。摸到七枚高分怪字母，你就会僵在那里，拼不出一个合法单词。于是数量与分值相互拉扯：袋子里的字母必须大致符合语言实际使用它们的比例，否则游戏就会停滞。

这就是为什么 Q 恰好只有一枚，也是为什么与它几乎形影不离的搭档 U 独占四枚：一枚 Q，袋子里配上四枚 U，好让它有机会找到一枚。这枚孤零零的 Q 之所以珍贵，正是因为它几乎打不出去；而它之所以还能打出去，全靠袋子里其他字母牌是按照现实生活本身的比例分配的。稀缺决定奖励；频率让游戏持续进行。

为什么西班牙语扔掉了 K

如果说一套公平的字母牌是一种语言字母频率的照片，那么换一种语言，照片就必然改变。事实确实如此，而且一目了然。WordChess 支持 22 种语言，每种语言都重新构建字母牌组，因为为英语调校的分布放到别处就是错的。³

在北美以外销售的西班牙语版本完全去掉了 K 和 W；这两个字母在西班牙语中只出现在外来词里，因此一个忠实的袋子根本不给它们配牌。⁵ 意大利语走得更远，去掉了 J、K、W、X 和 Y，这些字母不属于意大利语的本土拼写，只出现在外来词中。⁵ 在英语袋子里每个只配给一两枚的字母，在另一种语言里不是稀有，而是根本不存在。稀有并不是字母本身的属性，而是字母在某种语言中的属性。

一个字母的稀有度就是它的信息量

Butts 在还没有相应术语的时候，就已经在测量一样东西，而一位数学家将在大约十五年后把它形式化。1948 年，Claude Shannon（克劳德·香农）以一个精确的论断奠定了信息论的基础：一个符号越难预测，它携带的信息就越多。一个你本可以猜到的字母几乎不告诉你什么；一个出人意料的字母则告诉你很多。稀有就是信息，而信息以比特来度量。⁶

在 1951 年的论文《印刷英语的预测与熵》（Prediction and Entropy of Printed English）中，香农着手衡量这个量。如果孤立地看待字母，英语每个字母大约有四比特；但如果让读者利用上下文——比如 q 后面几乎必然跟着 u，很少有单词以 v 结尾——真实的信息率就会骤降。香农的预测实验表明，普通英语的熵大约在每字母 0.6 到 1.3 比特之间。⁶ 我们写下的大部分内容都是冗余的；真正起作用的是那些出人意料的字母。

同样的账目早已塑造过一种更早的编码。19 世纪 40 年代，Samuel Morse 和 Alfred Vail 创制他们的电码字母表时，据说 Vail 研究了一家印刷厂的铅字盒，以了解哪些字母使用得最多，然后把最短的信号分配给这些字母：E 是一个点，T 是一个划。⁷ 常用字母配短码；常见字母牌配低分；可预测的内容配少量比特。Morse 要把电线上的时间降到最少，Butts 要平衡一款游戏，香农则为背后的那个数字命了名，但三个人读的是同一本账。原来，一个字母的价值，始终衡量的是它能给你带来多少意外。