Line of Fit

您会得到一片散点和一条直线 y = m·x + b，它一开始平放在 y = 0 处。用滑块或拖动直线来设置斜率 m 和截距 b。每个点都有一条红色残差线连到您的直线，显示直线偏离该点多远。在 Exact 和 Best Fit 中，游戏过程中您的误差是隐藏的：凭眼力判断拟合程度，然后按 Lock in。结果会显示您的误差、目标值、准确率，以及您本应瞄准的那条直线（以虚线绘出）。

• Exact：4 到 8 个点恰好位于一条隐藏的直线上，因此完美锁定时误差为 0。
• Best Fit：8 到 16 个点散布在一条直线周围，因此没有任何直线能穿过所有点。基准值是最小二乘直线的误差，即残差平方和尽可能小的那条直线的误差。
• Drift：点会移动 30 秒，您用滑块让直线始终贴住它们；实时误差会显示出来。
• 误差是残差的平方和：把每个点到您直线的竖直距离平方，然后全部相加。
• 得分（Exact 和 Best Fit）：准确率 × (900 + 速度奖励)，其中准确率为 1 / (1 + 每个点高出基准值的误差)，速度奖励从 100 开始，在 120 秒后降至 0。Drift 按您在 30 秒内保持良好拟合的时间比例计分，满分 1,000。
• Give up 会显示最佳直线，得分为 0。

在 Exact 中，从网格上读出两个点。如果它们是 (0, 3) 和 (2, 4)，直线每横向移动 2 就上升 1，所以 m = 0.5；它在 3 处与 y 轴相交，所以 b = 3。设好这两个值并锁定，误差为 0：准确率 100%。

在 Best Fit 中，假设有 8 个点，基准值为 15.3。锁定一条误差为 23.3 的直线，您就比基准值高出 8，即每个点 1，所以准确率为 1 / (1 + 1) = 50%。若在 30 秒后锁定，此时速度奖励为 75，您的得分为 0.5 × 975 = 488。

• Daily：每天每个挑战和每个级别的点对所有人都相同（日期在 UTC 午夜更替）。每个挑战和级别只有您的第一次 Daily 计入排行榜；从您的第一步操作起即算作已玩。
• Practice：每轮都是新的随机点；按 New 换一组。
• 级别 1 到 5 会增加点数，并在 Best Fit 和 Drift 中增加离散程度。Daily 和 Practice 的每个挑战和每个级别都有各自独立的排行榜。

• 桌面：拖动斜率和截距滑块，或直接拖动直线：拖动中间会移动截距，拖动两端会倾斜斜率。满意后按 Lock in。
• 手机和平板电脑：用手指拖动滑块或直线，然后点按 Lock in；点按图表上方的按钮可切换挑战、Daily 或 Practice 以及级别。

• 先设置截距，让直线穿过点云的中部，然后倾斜斜率，直到直线上方和下方的点数大致相等。
• 最小二乘直线总是经过平均点，即 x 的平均值和 y 的平均值（简单线性回归：数值性质），所以先找到点云的中心，再绕着它旋转直线。
• 平方使大的偏差远比小的偏差更重要：长度为两倍的残差会带来四倍的误差，所以不要让远处的点偏离太远。
• 在 Exact 中，读出两个恰好落在网格线上的点，用纵向变化除以横向变化算出斜率。
• 在 Drift 中，保持斜率稳定，用截距跟随点云。

Line of Fit 让线性回归变得看得见、摸得着：斜率和截距起什么作用，什么是残差，以及为什么最佳直线是在点之间取得平衡，而不是穿过它们。

• 技能：线性函数、斜率和截距、散点图、残差、最小二乘法
• 最适合：大约 8–12 年级（13 岁以上）
• 对于家长和老师：先凭眼力拟合，再与最小二乘直线比较，是理解公式的好途径；Exact 回合还能练习从图上读出斜率和截距。

游戏用来衡量您的那条直线是最小二乘直线。对最小二乘法的第一份清晰阐述由阿德里安-马里·勒让德于 1805 年发表，见于一部关于确定彗星轨道的著作；1809 年，卡尔·弗里德里希·高斯发表了他自己的方法，并声称自 1795 年起就已掌握该方法（最小二乘法：历史）。朱塞佩·皮亚齐于 1801 年发现小行星谷神星并跟踪观测了 40 天之后，高斯的最小二乘计算是唯一能让天文学家弗朗茨·克萨韦尔·冯·扎克重新找到它的预测（最小二乘法：方法）。

“回归”一词来自弗朗西斯·高尔顿，他在 19 世纪用它来描述高个子祖先的后代身高趋向于回到平均值的现象（回归分析：历史）。用一条直线 y = m·x + b 拟合只有一个输入和一个输出的点，就是简单线性回归（简单线性回归）。

Line of Fit 是 PlayPendium 的一款原创游戏。它的点由种子生成，因此 Daily 对所有人都相同；用来与您比较的最小二乘直线是针对每组点精确计算出来的。游戏在浏览器中运行，无需安装，也无需账户。

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