为什么是三

只认得一个数字的立方体

3927 是在三个维度中、用另一种算术重建的 2048。棋盘是一个 3×3×3 立方体，共二十七个格子，你可以沿六个方向中的任意一个推动整个立方体。当三个数值相同的方块相撞时，它们不会翻倍，而是变为三倍。3 变成 9，9 变成 27，然后继续：81、243、729。游戏的名字本身就数出了前三个方块——3·9·27——而整个设计从头到尾都是三：每条轴三个格子，三个方块一次合并，增长倍数为三。⁴

它的前身则固执地坚守二进制。经典的 2048 使用 2 的幂——2、4、8、16……——并成对合并方块。二是抛硬币的数字，是晶体管的数字，是比特的数字。于是，好奇的玩家自然会问：把二换成三只是图个新鲜，还是三一直隐藏着真正的优势？事实证明，数学对此有自己的看法，而且态度出奇地坚定。

计数的代价

设想你必须造一台存储数字的机器。每一个数位都要花费一些东西——一个齿轮、一根导线、一只电子管——而这份花费随进制增长，因为一个 b 进制数位需要 b 个可区分的状态。但更大的进制也意味着，表示任意给定的数字所需的数位更少。这里存在一种张力，它有一个名字：进制经济性（radix economy）。

形式化地说，用 b 进制表示数 N 的经济性，等于进制乘以位数：E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋。¹ 大进制换来的是短小的数字，但每一位都很昂贵；小进制每一位都很便宜，但数字会铺得很长。在这两个极端之间存在一个最佳点，而它并不在我们大多数技术最终落脚的地方。

最优进制是一个无理数

当 N 很大时，经济性近似于 (b ÷ ln b) · ln N，因此一个进制的效率完全取决于因子 b ÷ ln b。用一点微积分求它的最小值，得到的答案既精确又奇特：所有进制中最经济的是 e，约为 2.71828。¹ 当然，你不可能造出每位有 2.718 个状态的计算机。但你可以问：哪个整数最接近这个理想值？胜出者——同时击败了二和十——是三。

这个差距并非纸上谈兵。三进制与理论最优值的差距不到百分之零点五，而二进制要多付百分之六的附加成本，十进制更是要多付沉重的百分之六十。有一个具体的方法可以感受这一点：要写出从 0 到 999,999 的每一个数，二进制需要 20 位，十进制需要 6 位，而三进制只需要 13 位——13×3 的总和比 20×2 更小。¹ 三确实用更少的结构装下了更多的计数。

人们请大自然说出最有效率的计数方式，它回答了一个无理数。最接近这个答案的整数，是三。

相信这一点的机器

这不仅仅是教科书里的奇谈。1958 年，在莫斯科国立大学，由 Nikolay Brusentsov 和数学家 Sergei Sobolev 领导的团队建造了 Setun，这是有史以来最著名的三进制计算机。³ 当西方全力投入比特时，Setun 以三进制位（trit）计数，而且采用了一种格外优美的方案：平衡三进制，它的三个数位值不是 0、1、2，而是 −1、0、+1。²

这种对称性立刻带来了回报。一个数自带符号——不需要单独的符号位，也不需要二进制补码那样的周折——要对任何数值取反，只需把每一位翻转即可。舍入与截断变成了同一种运算。Donald Knuth 称它“也许是所有数制中最漂亮的一种”。² 由于缺少晶体管，Brusentsov 用成对的铁氧体磁芯巧妙地造出了三个稳定状态；Setun 总共制造了大约五十台，大多被送往苏联各地的大学用于数学教学。³ 这台机器能用，造价低廉，而且不声不响地领先于同时代的机器。

三是更优雅的游戏吗？

到了这里，一位谨慎的作者必须克制住自己。进制经济性是一个在特定成本假设下关于存储和处理数字的论断，而且连数学家也指出，这些假设只是近似的——更完整的核算往往会重新证明二进制的合理性，这也正是世界运行在二进制之上的原因。¹ 合并谜题不是存储器；没有人会在喝咖啡的间隙去最小化电子管的数量。所以，3927 在任何实质性的工程意义上都谈不上“更有效率”，说它是，就是在耍花招。

然而，这款游戏确实继承了某种真实的东西。以三倍增长，能用更少、更有分量的步数达到很大的数字；每一次合并都做了更多的功，而 3×3×3 立方体是能让三方合成在每个方向上都施展得开的最小棋盘。⁴ 这个设计并不是偶然撞上了三，而是落在了计数数学自电子计算诞生之初就默默偏爱的那个整数上——也正是 Setun 的工程师们有意选择的那个数。二是我们默认沿用的数字；如果由效率而不是抛硬币来做最终裁决，三才是我们会选择的数字。方块恰好拼出 3、9、27，不过是宇宙早已讲过的一个小玩笑。