完美策略存在吗？

无人破解的游戏

先从人人都知道的那款游戏说起。2048——四个方向，一个 4×4 网格，相碰即翻倍的方块——严格来说至今尚未被破解。没有人写出过能完美地玩它的算法。我们拥有的只是非常强的近似方法。一种期望最大化（expectimax）搜索向前预判大约八步，并用少数几条人工调校的启发式规则——空格数量、贴住边缘的大方块、平滑度——给每个局面打分，它在超过三分之一的对局中能达到 32768 方块；¹ 而最强的公开引擎也只在百分之几的对局中触及 65536 方块。² 推广到 m×n 棋盘后，仅仅判断某个目标方块能否达到就是 NP 困难的。³ 强大并不等于已被破解。

十七个指数，十六个格子

单个方块最高能爬到多高？在十六个格子上，答案是一段简短而优雅的计数。把棋盘排成一道递减的阶梯：65536、32768、16384，一路向下直到一个孤零零的 2。每个方块都恰好比相邻方块低一个 2 的幂次，于是 2¹ 到 2¹⁶ 这十六个不同的幂次正好填满棋盘，而 65536 = 2¹⁶ 就坐在顶端：每个格子一个指数。这就是在游戏只给你 2 的情况下的上限。但 2048 每十次会生成一次 4，而一个时机恰当的 4 就能偷偷塞进第十七个指数，把真正的最大值抬到 131072 = 2¹⁷——把相当于十七个方块的幂次挤进了十六个方格。⁴ 还没有人类搭出过它；只有少数几个 AI 曾擦边触及。

锚定在角落

为什么这类棋盘会奖励把最大的方块塞进角落？位于中间的方块可以被朝四个方向推动，于是它总是被迫与想要结合的方块分开。角落里的方块贴着两面墙；朝它已经紧贴的墙推动无法让它移动，只要你避免朝远离这两面墙的方向推，它就能稳坐不动，而其他一切都围绕它整理起来。把其余方块串成一条单调的“蛇”——最大的在角落，按降序来回折返——一次滑动就能引发一连串合并。¹ 这是主导人类休闲玩法的启发式规则，而当你让 AI 自行调校权重时，它们重新发现的也几乎正是这一条。

带有随机生成的合并游戏没有对手，只有天气。“破解”它意味着在平均意义上战胜骰子，而不是战胜一个头脑。

走进立方体

现在把棋盘倾斜进三维空间。3927 是 2048 的立方体表亲：一个由 27 个格子组成的 3×3×3 晶格，六个推动方向而非四个，方块三个一组合成——3 变 9，9 变 27，27 变 81——2048 是二进制，这里则是三进制。⁵ 角落堆叠法能在多出的维度中存活吗？立方体有八个角，角格现在贴着三个面而不是两个——它应该更加稳固，同时被三面墙钉住；不过六个方向也让棋盘有更多办法把你搭好的结构抖散。那条“蛇”变成了一条贯穿全部三层的折叠路径。就我所能查到的，还没有人弄清楚这个类比是否真的成立——这是推理，而非测量。

那么上限呢？“每格一个指数”的规则会给出 3²⁷ ≈ 7.6 万亿，作为一个宽松的上界。但这个类比破绽很大。2048 多出的那个指数来自一个幸运的 4；3927 只会生成最小的方块，一个光秃秃的 3，所以没有任何额外奖励。更糟的是，三方块合并需要三个方块排成一条线，而 3×3×3 立方体上的每一行、每一列、每一根立柱都恰好只有三个格子长，所以每一次合并都会耗掉一整条线。这个约束比平面游戏中的任何限制都要严苛得多，几乎可以肯定会把真正的最大值拖到远低于 3²⁷ 的地方。这个真实数字究竟是多少，我没有在任何地方找到计算结果。（以上为明确标注的推理；上述机制则依据游戏设计文档核实。）